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四棱锥P—ABCD中,PA⊥面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA中点,过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F,G,H,已知底面ABCD为直角梯形,AD//BC,AB⊥AD,∠BCD=135°

   (1)求异面直线AF,BG所成的角的大小;

   (2)设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ,求cosθ.

(1)(2)


解析:

由题意可知,AP、AD、AB两两垂直,

    可建立空间直角坐标系A—xyz,由平面几

何知识知:AD=4,D(0,4,0),B(2,0,0),

C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),

F(1,0,1),G(1,1,1)…………2分

   (1)

 …………4分

   (2)可证明AD⊥平面APB,∴平面APB的法向量为

设平面CPD的法向量为

  …………10分

  …………12分

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E、F、G分别是PD、PC、BC的中点.
(I)求证:PA∥平面EFG;
(II)求平面EFG⊥平面PAD;
(III)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上海)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,AD=2
2
,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=
12
,AD=1.
(I)求证:CD⊥平面PAC
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,M为AB的中点.
(1)求证:BC∥平面PMD;
(2)求证:PC⊥BC;
(3)求点A到平面PBC的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q为AD的中点.
(1)求证:PA∥平面MDB;
(2)求证:AD⊥平面PQB;
(3)若平面PAD⊥平面ABCD,且M为PC的中点,求四棱锥M-ABCD的体积.

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