Question

已知f（x）=

3

2

cosx-

3

2

sinx
（1）求f（x）的周期和单调增区间；
（2）已知f（

α

2

-

π

6

）=

3

5

，求f（α+

5π

6

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角恒等变换的应用可求得f（x）=

3

cos（x+

π

6

），于是可求f（x）的周期和单调增区间；
（2）由f（x）=

3

cos（x+

π

6

）与f（

α

2

-

π

6

）=

3

5

，可求得cos

α

2

=

3

5

，化简f（α+

5π

6

）=-

3

cosα，再利用二倍角的余弦即可求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

cosx-

3

2

sinx=

3

（

3

2

cosx-

1

2

sinx）=

3

cos（x+

π

6

），
其周期T=2π，
由2kπ-π≤x+

π

6

≤2kπ（k∈Z），得：2kπ-

7π

6

≤x≤2kπ-

π

6

（k∈Z），
所以，f（x）的单调增区间为[2kπ-

7π

6

，2kπ-

π

6

]（k∈Z）；
（2）由f（

α

2

-

π

6

）=

3

cos

α

2

=

3

5

得：cos

α

2

=

3

5

，
故f（α+

5π

6

）=

3

cos（α+

5π

6

+

π

6

）=-

3

cosα=-

3

（2cos²

α

2

-1）=

19 3

25

．

点评：本题考查两角和与差的余弦，着重考查三角恒等变换的应用及余弦函数的单调性质、二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．