Question

若函数f（x）=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（　　）

A．[1，+∞）

B．（1，19）

C．[1，19）

D．（-1，19]

Answer 1

分析：由题意可得（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3＞0恒成立，按照a²+4a-5=0①，a²+4a-5≠0②两种情况进行讨论，情况①可求得a值，然后代入不等式检验即可；情况②可等价转化为不等式组解决．

解答：解：f（x）=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，即（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3＞0（*）恒成立，
（1）当a²+4a-5=0时，可得a=-5或a=1，
若a=-5，（*）式可化为24x+3＞0，不恒成立；
若a=1，（*）式可化为3＞0，恒成立；
（2）当a²+4a-5≠0时，可得a≠-5且a≠1，
由题意可得，

a2+4a-5＞0 △=[-4(a-1)]2-4(a2+4a-5)×3＜0

，即

a2+4a-5＞0 a2-20a+19＜0

，解得1＜a＜19；
综上所述，a的取值范围是：[1，19），
故选C．

点评：本题考查二次函数的性质及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，属基础题．