Question

已知双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左右的交点分别为A，B
（1）求证：点P在直线上（C为半焦距）．
（2）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（3）若|AP|=3|PB|，求离心率．

Answer 1

【答案】分析：1）先设出双曲线半焦距，求得渐近线方程，则可求得过F的垂线方程，联立方程求得焦点p的横坐标，推断出在右准线上
（2）根据直线l与双曲线左右支均有交点，判断出该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，进而推断出 ＞整理后即可求得a和c的不等式关系，求得离心率的范围．
（3）由题知P分AB所成比λ=3，利用定比分点的坐标公式可得，，结合可求，x₁，x₂，由x₁x₂=整理可得q，b的关系，进而可求离心率e
解答：解：（1）∵双曲线在一，三象限的渐近线为y=，右焦点F（c，0）
∴所求的直线
由及联立解得P的坐标P：
所以点P在直线上
（2）由消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴
∴b²＞a²即c²＞2a²
∴
（3）由题知P分AB所成比λ=3
∴
∴
又
∴
∴
化简得4a²=b²
∴=
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等