Question

设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0． (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明你的结论．

   

Answer 1

解：由

f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x)

⇒

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10），
又f（3）=0，而f（7）≠0，⇒f（-3）=f（7）≠0⇒f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）
故函数y=f（x）是非奇非偶函数；
（II）由由

f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x)

⇒

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，
所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．