Question

若x，y是正数，则(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是（　　）

• A、3
• B、

  7

  2

• C、4
• D、

  9

  2

Answer 1

分析：连续用基本不等式求最小值，由题设知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（x+

1

2y

）×（y+

1

2x

）整理得知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），其中等号成立的条件是x=y，又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1等号成立的条件是xy=

1

4xy

与x=y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y=

2

2

，计算出最值是4

解答：解：∵x，y是正数，
∴(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），
等号成立的条件是x+

1

2y

=y+

1

2x

，
解得x=y，①
又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1
等号成立的条件是xy=

1

4xy

②
由①②联立解得x=y=

2

2

，
即当x=y=

2

2

时(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是4
故应选C．

点评：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．