Question

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，已知a₃=4，前三项的和为28．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=log₂a_n，b₁+b₂+…+b_n=S_n，求

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大时n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设公比为q，由题设知

a1q2=4 a 1(1-q3) 1-q =28

，解得a1=16，q=

1

2

，或a1=36，q=-

1

3

．（舍）．由此能求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=log2[32×(

1

2

)n ]=5-n．S_n=4+3+2+…+（5-n）=

n(9-n)

2

．所以

Sn

n

=

9-n

2

，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

=

9n

2

-

n(n+1)

2

=-

1

2

(n-4)2+8．由此能求出

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大时n的值．

解答：解：（Ⅰ）设公比为q，则有a₃=4，前三项的和为28，
知

a1q2=4 a 1(1-q3) 1-q =28

，
解得a1=16，q=

1

2

，或a1=36，q=-

1

3

．
∵等比数列{a_n}各项都为正数，
∴a1=36，q=-

1

3

不合题意，舍去．
∴a1=16，q=

1

2

，
an=16×(

1

2

)n-1=32×(

1

2

)n．
（Ⅱ）∵an=32×(

1

2

)n，
∴b_n=log₂a_n=log2[32×(

1

2

)n ]=5-n．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=4+3+2+…+（5-n）
=

n(9-n)

2

．
∴

Sn

n

=

9-n

2

，
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

=

9-1

2

+

9-2

2

+…+

9-n

2

=

9n

2

-

n(n+1)

2

=-（

1

2

n2-4n）
=-

1

2

(n-4)2+8．
∴n=4时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值8．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．即在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列．解题时要认真审题，注意配方法的灵活运用．