Question

14．在锐角△ABC中，内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=$\sqrt{2}$bsinA．
（1）求∠B的大小；
（2）若AO是边BC上的中线，AO=BC=2，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由a=$\sqrt{2}$bsinA，利用正弦定理可得：sinA=$\sqrt{2}$sinBsinA，化简解出即可．
（2）在△ABO中，由余弦定理可得c²-$\sqrt{2}$c-3=0，可解得c，在△ABC中，由余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵a=$\sqrt{2}$bsinA，
∴由正弦定理可得：sinA=$\sqrt{2}$sinBsinA
∵sinA≠0，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴锐角B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵在△ABO中，由余弦定理：AO²=AB²+BO²-2•AB•BO•sinB，可得：4=c²+1²-2×$c×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c²-$\sqrt{2}$c-3=0，c＞0，可解得：c=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$，
∴在△ABC中，由b²=a²+c²-2accosB，可得：b=$\sqrt{4+4+\sqrt{7}-2-\sqrt{7}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．