Question

设f（x）=lnx．
（1）若α∈（0，1），求g（x）=αlnx+（1-α）ln（1-x）最大值；
（2）已知正数α，β满足α+β=1．求证：αf（x₁）+βf（x₂）≤f（αx₁+βx₂）；
（3）已知x_i＞0，正数α_i满足

n

i=1

αi=1．证明：

n

i=1

αilnxi≤ln

n

i=1

αixi（其中i=1，2，…n）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求出函数的最大值；
（2）构造函数F（x）=αf（x₁）+βf（x）-f（αx₁+βx）=αlnx₁+βlnx-ln（αx₁+βx），求导数，确定函数的单调性，可得函数的最大值，即可证明结论；
（3）用数学归纳法证明，①当n=1，2时，命题显然成立；②假设当n=k（k≥2，k∈N）时，命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立．

解答：（1）解：∵g（x）=αlnx+（1-α）ln（1-x），
∴g′（x）=

α

x

+(1-α)•

-1

1-x

=

α-x

x(1-x)

（0＜x＜1），
∴当x∈（0，α）时，g'（x）＞0，当x∈（α，1）时，g'（x）＜0．
即g（x）在（0，α）上递增，在（α，1）递减．
故当x=α时，有g_max（x）=g（α）=αlnα+（1-α）ln（1-α）．（3分）
（2）证明：构造函数F（x）=αf（x₁）+βf（x）-f（αx₁+βx）=αlnx₁+βlnx-ln（αx₁+βx），则F′(x)=

β

x

-

β

αx1+βx

=

αβ(x1-x)

x(αx1+βx)

，
∴F（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，+∞）上递减，
∴当x=x₁时，有F_max（x）=F（x₁）=αf（x₁）+βf（x₁）-f（αx₁+βx₁）=0，
∴F（x₂）≤F（x₁），即αf（x₁）+βf（x₂）-f（αx₁+βx₂）≤0，
即证αf（x₁）+βf（x₂）≤f（αx₁+βx₂）（8分）
（3）用数学归纳法证明如下：
①当n=1，2时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2，k∈N）时，命题成立，即当α₁+α₂+…+α_k-1+α_k=1时，α₁lnx₁+α₂lnx₂+…+α_k-1lnx_k-1+α_klnx_k≤ln（α₁x₁+α₂x₂+…+α_k-1x_k-1+α_kx_k）．
则当n=k+1，即当α₁+α₂+…+α_k-1+α_k+α_k+1=1时，

α1

1-αk+1

+

α2

1-αk+1

+…+

αk-1

1-αk+1

+

αk

1-αk+1

=1，
又假设知

α1

1-αk+1

lnx1+

α2

1-αk+1

lnx2+…+

αk-1

1-αk+1

lnxk-1+

αk

1-αk+1

lnxk≤ln(

α1

1-αk+1

x1+

α2

1-αk+1

x2+…+

αk-1

1-αk+1

xk-1+

αk

1-αk+1

xk)，
即α1lnx1+α2lnx2+…+αk-1lnxk-1+αklnxk≤(1-αk+1)ln(

α1x1+α2x2+…+αk-1xk-1+αkxk

1-αk+1

)
∴α₁lnx₁+α₂lnx₂+…+α_k-1lnx_k-1+α_klnx_k+α_k+1lnx_k+1≤(1-αk+1)ln(

α1x1+α2x2+…+αk-1xk-1+αkxk

1-αk+1

)+αk+1lnxk+1≤ln[(1-αk+1)

α1x1+α2x2+…+αk-1xk-1+αkxk

1-αk+1

+αk+1xk+1]=ln（α₁x₁+α₂x₂+…+α_k-1x_k-1+α_kx_k+α_k+1x_k+1）．
这说明当n=k+1时，命题也成立．
综上①②知，当x_i＞0，正数α_i满足

n

i=1

αi=1时

n

i=1

αilnxi≤ln

n

i=1

αixi（其中i=1，2，…n）（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，考查函数的构造，正确运用数学归纳法的证明步骤是关键．