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双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点.则
.
OP
.
OQ
等于(  )
分析:首先根据双曲线虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上,运用中点坐标公式和准线方程表达式,计算出c2=2a2,从而得到a2=b2,双曲线方程为
x2
a2
-
y2
a2
=1.然后可以设出垂直于实轴的弦PQ端点的坐标,利用向量数量积的坐标表达式结合双曲线方程进行化简,可得则
.
OP
.
OQ
等于a2
解答:解:设A(0,-b)为虚轴的一个端点,F(c,0)是双曲线的右焦点
∵虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上
∴AF中点G在右准线:x=
a2
c

xG=
1
2
(0+c)=
a2
c
yG=
1
2
(-b+0)=-
b
2
1
2
c=
a2
c
⇒c2=2a2
∵c2=a2+b2
∴a2=b2⇒双曲线方程为
x2
a2
-
y2
a2
=1
∵PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦
∴可以设P(x0,y0),Q(x0,-y0
x02
a2
-
y02
a2
=1
x0 2-y02=a2
由向量数量积的坐标表达式得:
.
OP
.
OQ
=x0•x0+y0•(-y0)=x0 2-y02=a2
故选B
点评:本题以双曲线的标准方程和简单性质为载体,着重考查了向量的数量积和双曲线的基本概念等知识点,考查了转化与化归的数学思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

若点O和点F(-2,0)分别是双曲线
x2
a2
-y2=1(a>0)
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
OP
FP
的取值范围为(  )
A、[3-2
3
,+∞)
B、[3+2
3
,+∞)
C、[-
7
4
,+∞)
D、[
7
4
,+∞)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-y2=1(a>0)
的一条准线方程为x=
3
2
,则a等于
 
,该双曲线的离心率为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设圆C的圆心为双曲线
x2
a2
-y2=1(a>0)
的左焦点,且与此双曲线的渐近线相切,若圆C被直线l:x-y+2=0截得的弦长等于
2
,则a等于(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若点O和点F(-2,0)分别是双曲线
x2
a2
-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F′的连线垂直x轴,则线段OP的长为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-y2=1
的一个焦点坐标为(-
3
,0)
,则其渐近线方程为(  )
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

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