Question

已知函数f(x)=在x=1处取得极值4.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)若点P为函数f(x)=图象上的任意一点,直线l与函数f(x)=图象相切于P点,求直线l的倾斜角的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=,

∵在x=1处取得极值4,∴

即解得∴f(x)=.

(2)由f′(x)==0,得x=±1,于是

X	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	极小值4	↗	极大值4	↘

故单调减区间为(-∞,-1)与(1,+∞),单调增区间为(-1,1).

(3)设P(x₀,y₀),则直线l的斜率k=f′(x₀)==8［］.

令=t,t∈(0,1］,则k=8(2t²-t)=8［2(t)²］,t∈(0,1］,

∴k∈［-1,8］.

∴直线l的倾斜角的取值范围是［0,arctan8］∪［,π).