Question

已知向量

p

=(x，a-3)，

q

=(x，x+a)，f(x)=

p

•

q

，且m，n是方程f（x）=0的两个实根．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（a）=m³+n³+a³，求g（a）的最小值；
（Ⅲ）给定函数h（x）=bx+1（b＞0），若对任意的x₀∈[2，3]，总存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积运算和一元二次方程实数根与△的关系即可得出；
（II）利用根与系数的关系，g（a）转化为关于a的函数，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（III）利用（II）求出函数g（x）在x∈[2，3]的值域A，在求出h（x）在x∈[1，2]的值域B，则A⊆B即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：f(x)=

p

•

q

=x2+(a-3)x+a2-3a，
∵m、n是方程f（x）=0的两个实根，
∴△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0，
∴-1≤a≤3．
（Ⅱ）由题意知：

m+n=3-a m•n=a2-3a

，
∴g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=（3-a）[（3-a）²-3（a²-3a）]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]，
故g'（a）=9a²-18a，
令g'（a）=0，∴a=0或a=2，
从而在[-1，0），（2，3]上g'（a）＞0，g（a）为增函数，
在（0，2）上g'（a）＜0，g（a）为减函数，
∴a=2为极小值点，∴g（2）=15，又g（-1）=15．
∴g（a）的最小值为15．
（Ⅲ）当x₀∈[2，3]时，g（x₀）∈[15，27]，
x₁∈[1，2]时，h（x₁）∈[b+1，2b+1]．
由题意知[15，27]⊆[b+1，2b+1]，
∴

b+1≤15 2b+1≥27

，∴13≤b≤14．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、一次函数的单调性、一元二次方程的解集与根与系数的关系是解题的关键．