Question

20．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．
（Ⅰ）求BE；
（Ⅱ）求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的切割线定理，可得PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到EB的长；
（Ⅱ）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，运用勾股定理，解方程可得AN=2，求得PN，AM的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即可得到所求值．

解答 解：（I）PA²=PC•PD，PA=6，CD=9，
即36=PC（PC+9），
得PC=3（-12舍去），
所以PD=PC+CD=12，
又EP=9，所以ED=PD-EP=12-9=3，CE=EP-PC=9-3=6，
又AE•EB=CE•ED，
则EB=$\frac{CE•ED}{AE}$=$\frac{6×3}{9}$=2；
（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，
设AN=x，则AP²-AN²+NE²=EP²，
由AP=6，EP=9，NE=9-x，
即有36-x²+（9-x）²=81，
得x=2即AN=2，PN=$\sqrt{A{P}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}$，
AB=AE+EB=9+2=11，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{11}{2}$，
在直角三角形PNA和直角三角形AMO，
∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM，
可得△PNA∽△AMO，
得：$\frac{OA}{PA}=\frac{AM}{PN}$，
即有OA=$\frac{AM•PA}{PN}$=$\frac{5.5}{{4\sqrt{2}}}×6$=$\frac{{33\sqrt{2}}}{8}$．

点评 本题考查圆的切割线定理、相交弦定理及勾股定理，以及相似三角形的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．