Question

如图所示，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，

E是棱CC₁上的点，且CE=CC₁.

（1）求三棱锥C—BED的体积；

（2）求证：A₁C⊥平面BDE.

Answer 1

（1）（2）证明略

解析:

（1）∵CE=CC₁=，

∴V_C—BDE=V_E—BCD=S_△BCD·CE

=××1×1×=.

(2)证明  连接AC、B₁C.     

∵AB=BC，∴BD⊥AC.

∵A₁A⊥底面ABCD,

∴BD⊥A₁A.

∵A₁A∩AC=A，

∴BD⊥平面A₁AC.

∴BD⊥A₁C.

∵tan∠BB₁C==,

tan∠CBE==,∴∠BB₁C=∠CBE.

∵∠BB₁C+∠BCB₁=90°,

∴∠CBE+∠BCB₁=90°,∴BE⊥B₁C.

∵BE⊥A₁B₁，A₁B₁∩B₁C=B₁，

∴BE⊥平面A₁B₁C，∴BE⊥A₁C.

∵BD∩BE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，

∴A₁C⊥平面BDE.