Question

抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，
求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，
求此直线的方程．

Answer 1

解：（1）抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=-1-，
直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），
题设交点在准线右边，
得m＞-1-，即4m+p+4＞0．
由，
得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．
而判别式△=（2m+p）²-4（m²-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，
可知△＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点； …（4分）
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的两根，
∴x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．
由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=0．
又Q、R为直线x+y=m上的点，
因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．
于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2（m²-p）-m（2m+p）+m²=0，
∴p=f（m）=，
由，
得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）由于抛物线y²=p（x+1）的焦点F坐标为（-1+，0），
于是有，
即|p-4m-4|=4．
又p=，
∴||=4．
解得m₁=0，m₂=-，m₃=-4，m₄=-．
但m≠0且m＞-2，因而舍去m₁、m₂、m₃，
故所求直线方程为3x+3y+4=0．…（14分）
分析：（1）抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=-1-，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得4m+p+4＞0．由，得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．由此得到直线与抛物线总有两个交点．
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的两根，所以x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．由此能求出函数f（m）的表达式．
（3）由于抛物线y²=p（x+1）的焦点F坐标为（-1+，0），得|p-4m-4|=4．由p=，知||=4．由此能够推导出所求的直线方程．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．