Question

9．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2-x）．
（Ⅰ）在给定的图示中画出函数f（x）图象（不需列表）；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有两解，求k的范围．（只需写出结果，不要解答过程）

Answer 1

分析 （Ⅰ）偶函数的图象关于y轴对称，从而可画出x≥0时f（x）的图象，然后作该图象关于y轴的图象，这样即可得出f（x）的图象；
（Ⅱ）要求f（x）解析式，需求x＜0时，f（x）的解析式：可设x＜0，从而-x＞0，这样便可得到f（-x）=-x（2+x）=f（x），从而得出x＜0时的f（x）解析式，这便可写出f（x）的解析式，用分段函数表示；
（Ⅲ）y=k和y=f（x）的交点的情况便反映了方程f（x）=k解的情况，这样根据图象便可得出方程f（x）=k有两解的k的范围．

解答 解：（Ⅰ）图象如下所示：

（Ⅱ）设x＜0，-x＞0，则：
f（-x）=-x（2+x）=f（x）；
即f（x）=-x（x+2）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（2-x）}&{x≥0}\\{-x（x+2）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）k的范围为{k|k=1或k＜0}．

点评 考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，二次函数图象的画法，对于偶函数求对称区间上解析式的方法，以及数形结合解题的方法．