Question

某摸球游戏规则如下：一袋中装有9个球，其中黑球4个，白球4个，红球1个，这些球除颜色外质地完全相同，
（Ⅰ）现从袋中任意摸出的3个球，记得到白球个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（Ⅱ）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回，求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的概率．
解：

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布和数学期望E（X）．
（Ⅱ）（2）记3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数为事件A，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出P（A）．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得X=0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 5

C 3 9

=

5

42

，
P（X=1）=

C 1 4 C 2 5

C 3 9

=

10

21

，
P（X=2）=

C 2 4 C 1 5

C 3 9

=

5

14

，
P（X=3）=

C 3 4

C 3 9

=

1

21

，
∴随机变量X的概率分布为：

X	0	1	2	3
P	5 42	10 21	5 14	1 21

数学期望E（X）=0×

5

42

+1×

10

21

+2×

5

14

+3×

1

21

=

4

3

．
（Ⅱ）记3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数为事件A，则
P（A）=

C

3 3

(

4

9

)3+

C

2 3

×[（

4

9

）²×

4

9

+（

4

9

）²×

1

9

=

304

723

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．