Question

某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查每投入广告费t(百万元)，可增加销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1) 该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大? (2) 现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告销售和技术改造，经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大?(注：收益＝销售额－投入额)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：每投入t(百万元)广告费后增加收益f(t)(百万元)，则f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3＝， 　　∴t＝2(百万元)时，f(t)max＝4(百万元)． 　　分析：列出收益关于t和x的函数关系式解题．
(2)	设用于技术改造的费用为x(百万元)，则广告费为(3－t)(百万元)(0≤x≤3)，收益为g(x)，则g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3，x∈[0，3]． 　　由(x)＝－x2＋4＝0得x＝2或－2(舍去)． 　　当0≤x＜2，(x)＞0，g(x)递增；当2＜x≤3，(x)＜0，g(x)递减．∴当x＝2时g(x)取最大值．即技术改造费为2百万元，广告费为1百万元时收益最大． 　　点评：引进了导数之后，求多项式函数极值更方便了．