Question

（本小题满分13分）

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2点在该椭圆上。

求椭圆C的方程；

过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆C两焦点坐标分别为，.                                                        .……………1分

.                           .……………3分

又 ，                                                    ……………4分

故椭圆的方程为.                                                     .……………5分

（Ⅱ）当直线轴，计算得到：，

，不符合题意.                             .……………6分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

由，消去y得  ，   .……………7分

显然成立，设，

则                                                        .……………8分[来源:Zxxk.Com]

又       

即 ，                        .……………9分

又圆的半径                                                  .……………10分

所以

化简，得，

即，解得                                      

所以，，                                                       .……………12分

故圆的方程为：.                                                        .……………13分

（Ⅱ）另解：设直线的方程为，

由，消去x得 ，恒成立，

设，则                 ……………8分

所以

                                                        .……………9分

又圆的半径为，                                                 .……………10分

所以，解得，

所以，                                           ……………12分

故圆的方程为：.                                               .……………13分