Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n=1，2，3…）．令b_n=a_n-2n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）令，记T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1，比较T_n与的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴b_n=a_n-2n是以2为公比的等比数列
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+2n．
b_n=a_n-2n=2ⁿ =T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1
=×+2××+…+2^n-1××
=×（-）+×（-）+…+×（-）
=×（-）
=-∴
分析：（Ⅰ）根据Sn与an的固有关系an=，由已知可得a_n+1=2a_n-2n+2，转化构造数列{b_n}．研究其性质．
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=a_n-2n=2ⁿ 得 ^{_{， =}}，∴2 ^n-1 c_nc_n+1=×（-），T_n可求其表达式，再进行证明．
点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、数列求和，不等式的证明，考查转化构造、计算能力．