Question

某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	10	13	9.9	7	10	13	10.1	7	10

经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？

Answer 1

分析：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；
（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即3sin

2π

9

t+10≥11.5；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．

解答：解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴b=

13+7

2

=10，A=

13-7

2

=3
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此T=

2π

ω

=12，ω=

π

6

，
故f(t)=3sin

π

6

t+10（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即3sin

π

6

t+10≥11.5
∴sin

π

6

t≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤

5π

6

+2kπ
解得：12k+1≤t≤5+12k   k∈Z
又0≤t≤24
当k=0时，1≤t≤5；
当k=1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00-5：00），（13：00-17：00）．

点评：本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．