Question

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F₁AF₂的平分线所在直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率e=

1

2

，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）求得AF₁方程、AF₂方程，利用角平分线性质，即可求得∠F₁AF₂的平分线所在直线l的方程；
（3）假设存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代人

x2

16

+

y2

12

=1，求得BC中点代入直线2x-y-1=0上，即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵椭圆E经过点A（2，3），离心率e=

1

2

∴

a2-b2 a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1

，
∴a²=16，b²=12
∴椭圆方程E为：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）F₁（-2，0），F₂（2，0），
∵A（2，3），
∴AF₁方程为：3x-4y+6=0，AF₂方程为：x=2
设角平分线上任意一点为P（x，y），则

|3x-4y+6|

5

=|x-2|．                       
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率为正，∴直线方程为2x-y-1=0；
（3）假设存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）两点关于直线l对称，∴kBC=-

1

2

∴直线BC方程为y=-

1

2

x+m代人

x2

16

+

y2

12

=1得x²-mx+m²-12=0，
∴BC中点为(

m

2

，

3m

4

)
代入直线2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．