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试题

设 $数学公式$ 都是单位向量，且 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的最小值为________．

- $\text{[math]}$
分析：根据单位向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 算出 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 数量积，进而得到 $\text{[math]}$ ．由此结合向量数量积的运算性质得 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ =1，再将展开化简得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，因此可得 $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：∵单位向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1+2×（- $\text{[math]}$ ）+1=1
∴ $\text{[math]}$
因此， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ =1
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ +（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线方向相同时， $\text{[math]}$ 的最小值为- $\text{[math]}$
故答案为：- $\text{[math]}$
点评：本题给出3个单位向量中的两个夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．着重考查了平面向量数量积计算公式、模的计算公式及其运算性质等知识，属于中档题．

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设

都是单位向量，且

与

的夹角为

，则

的最小值为．

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设

都是单位向量，且

与

的夹角为

，则

的最小值为．

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