Question

设f（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）•f（1）＞0，求证：
（I） -2＜

b

a

＜-1
（II） 设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

．

Answer 1

分析：（I）由f（0）f（1）＞0得c（3a+2b+c）＞0，又a+b+c=0可得2a²+3ab+b²＜0，变形为(

b

a

)2+3•

b

a

+2＜0，求解即可．
（II）由韦达定理来构造：|x₁-x₂|=

( x 1-x 2 ) 2-4x 1•x 2

=

4 9 ( b a )2+  4 3 • b a + 4 3

，利用（I）的结论结合二次函数的性质即可证得结论．

解答：（I）证明：∵f（0）f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0． 又a+b+c=0，即c=-a-b，
所以（-a-b）（2a+b）＞0，即2a²+3ab+b²＜0．
由2a²+3ab+b²＜0知a2≠0，
∴(

b

a

)2+3•

b

a

+2＜0，解得 -2＜

b

a

＜-1．
（II）证明：∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，∴x₁+x₂=-

2b

3a

，
x 1•x2 = 

c

3a

 = 

-a-b

3a

=-

1

3

-

1

3

•

b

a

．
故|x₁-x₂|=

( x 1-x 2 ) 2-4x 1•x 2

=

4 9 ( b a )2+  4 3 • b a + 4 3

．
∵-2＜

b

a

＜-1，利用二次函数的性质可得

3

3

＜|x₁-x₂|＜

2

3

．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了函数与方程的转化，构造不等式，二次函数求最值等，属于中档题