Question

求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a²+b²+c²=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边．

Answer 1

分析：本题要证明一个条件是另一个条件的充要条件，这种题目的证明，要从两个方面来证明，即证明充分性，也要证明必要性，注意条件的等式的整理成完全平方的形式．

解答：证明：（1）充分性：如果a²+b²+c²=ab+bc+ca，
则a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
所以a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以a²+b²+c²=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a²+b²+c²=ab+bc+ca．

点评：本题考查三角形形状的判断，看出一个条件是另一个条件的充要条件，本题解题的关键是理解对于充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面来证明，缺一不可，本题是一个中档题目．