Question

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线交x轴于A点，交y轴于B点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．则线段AB中点的轨迹方程为

2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）

．

Answer 1

分析：化圆的一般方程为标准方程，求出圆的圆心和半径，写出与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线的截距式方程，化为一般式，由圆心到直线的距离等于半径列出一关系式，设出A、B的中点坐标，利用中点坐标公式得到中点坐标与切线在坐标轴上的截距的关系，利用代入法可得线段AB中点的轨迹方程．

解答：解：由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
所以已知圆的圆心为（1，1），半径=1，
设直线方程为

x

a

+

y

b

=1．
即bx+ay-ab=0．
因为圆心到切线距离等于半径，
所以

|b+a-ab|

a2+b2

=1，
（a+b-ab）²=a²+b²，
设AB中点为（x，y），则x=

a

2

，y=

b

2

，
即a=2x，b=2y，代入（a+b-ab）²=a²+b²，
得（2x+2y-4xy）²=4x²+4y²，
整理得2x²y²+xy-2x²y-2xy²=0．
因为a，b都不等于0，
所以x，y也不等于0．
则2xy+1-2x-2y=0
其中x=

a

2

＞1，y=

b

2

＞1．
所以线段AB中点的轨迹方程为2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．
故答案为2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆的关系，训练了代入法求轨迹方程，关键是对变量范围的确定，属于中档题．