Question

（18）已知f（x）是偶函数，而且在(0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0)上是增函数还是减函数，并加以证明.

Answer 1

（18）本题主要考查函数的性质，考查分析和解决问题的能力.

解：函数f（x）在（－∞，0)上是增函数，证明如下：

设x₁＜x₂＜0.

因为f（x）是偶函数，

所以f（－x₁）＝f（x₁），f（－x₂）＝f（x₂），              ①

由假设可知－x₁＞－x₂＞0，

又已知f（x）在[0，+∞）上是减函数，于是有

f（－x₁）＜f（－x₂）.                                               ②

把①代入②，得f（x₁）＜f（x₂）.

由此可知，函数f（x）在（－∞，0)上是增函数.