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如右图所示,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n个内切圆的面积和.
前n个内切圆的面积和是(1-)π.
设第n个正三角形的内切圆的半径为an.
因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的,
故a1=atan30°=a×=a,a2=a1,…,an=an-1.
∴数列{an}是首项为a,公比为的等比数列.∴an=×()n-1a.
设前n个内切圆的面积和为Sn,则
Sn=π(a12+a22+…+an2)=πa12[1+()2+()2+()2]=πa12[1+()+()2+…+()n-1]=×(1-)π=(1-)π.
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