Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），a₁=1．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由 a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），可得an-12=sn-1+sn-2 （n≥3）．两式相减可得 a_n -a_n-1=1，再由a₁=1，可得{a_n}的通项公式．
（II）根据{a_n}的通项公式化简b_n和b_n+1，由题意可得b_n+1-b_n=2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立，而1-2n的最大值为-1，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：（I）证明：∵a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），∴an-12=sn-1+sn-2 （n≥3）．
两式相减可得a_n² -an-12=S_n-s_n-2=a_n +a_n-1，∴a_n -a_n-1=1，
再由a₁=1，可得a_n=n．
（II）∵b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），
∴b_n+1=(1-an+1)2-a（1-a_n+1）．
即b_n=（1-n）²-a（1-n）=n²+（a-2）n+1-a，b_n+1=[1-（n+1）]²-a[1-（n+1）]=n²+an．
故b_n+1-b_n=2n+a-1，
再由b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立可得2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立．
而1-2n的最大值为1-2=-1，故a＞-1，
即实数a的取值范围（-1，+∞）．

点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的通项公式，函数的恒成立问题，属于难题．