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(本小题满10分)注意:第(3)小题平行班学生不必做,特保班学生必须做。对于函数,若存在x0∈R,使成立,则称x0的不动点。已知函数a≠0)。

(1)当时,求函数的不动点;

(2)若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;

(3)(特保班做) 在(2)的条件下,若图象上AB两点的横坐标是函数的不动点,且AB两点关于点对称,求的的最小值。

 

【答案】

(1)3和-1;

(2)

(3)b的最小值为-

【解析】(1)由题得:,因为为不动点,

因此有,即

所以,即3和-1为的不动点。

(2)因为恒有两个不动点,

∴ 

即 (※)恒有两个不等实数根,

由题设恒成立,

即对于任意bR,有恒成立,

所以有 , 

∴  

(3)由(※)式得,由题得E是AB的中点,且

∴ ,则E),

∴  -,  ∴ b=-, 

又由(2)知 0<a<1,  令

∴ 上是单调递减,在上是单调递增

∴ 当时,  

即 当时, b取得最小值,其最小值为-

 

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