Question

线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线．
（1）求这条抛物线方程；
（2）若，求m的最大值．

Answer 1

解：（1）可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
设直线AB的方程为y=k（x-m）（k≠0）
联立这两个方程组消去x得，ky²-2py-2pkm=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y₁•y₂＜0，所以y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，所以-2m=-2pm，因为m＞0，所以p=1．
所以抛物线方程为y²=2x；
（2）因为，所以tan∠AOB=-1，即tan（∠AOM+∠BOM）=-1
又，，
所以，
整理得y₁y₂+4=2（y₁-y₂）．
因为y₁y₂=-2m，所以y₁-y₂=2-m＞0，从而，
即，所以，即，
因此m²-12m+4＞0，
又当AB⊥x轴时，y₁+y₂=0，所以8m=（2-m）²，即m²-12m+4=0，
于是m²-12m+4≥0，且0＜m＜2，解之不等式组得到．
故m的最大值是．

分析：（1）设抛物线方程、直线AB的方程，联立这两个方程组消去x，利用两端点A、B到x轴的距离之积为2m，可求m的值，从而可得抛物线方程；
（2）利用tan（∠AOM+∠BOM）=-1，结合韦达定理，确定k、m的关系式，从而可得不等式，由此可求m的最大值．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查解不等式，属于中档题．