Question

（文科）已知△ABC中，∠B=60°，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为多少？
（理科）在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程x2-2

3

x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1，求：
（1）∠C的度数；
（2）AB的长度．

Answer 1

分析：（文科）由AD为BC边上的中线，根据BC的长求出BD的长，在三角形ABD中，再由AB及cosB的值，利用余弦定理列出关于AD的方程，求出方程的解，即可得到中线AD的长；
（理科）（1）由三角形的内角和定理得到A+B+C=π，即A+B=π-C，利用代入已知的等式2cos（A+B）=1中，利用诱导公式化简，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由a与b为已知方程的两个根，利用韦达定理求出a+b及ab的值，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，并利用完全平方公式整理化简后，将cosC，a+b及ab的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，即为AB的长度．

解答：（文科）
解：∵AD为边BC上的中线，BC=4，
∴BD=

1

2

BC=2，又AB=1，cosB=cos60°=

1

2

，
由余弦定理AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=1+4-2=3，
∴AD=

3

；
（理科）
解：（1）∵A+B=π-C，2cos（A+B）=1，
∴2cos（π-C）=-2cosC=1，即cosC=-

1

2

，
又C为三角形的内角，
∴C=

2π

3

；
（2）∵a，b是方程x2-2

3

x+2=0的两个根，
∴a+b=2

3

，ab=2，又cosC=-

1

2

，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab=12-2=10，
∴c=

10

，
则AB的长度为

10

．

点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，完全平方公式的运用，韦达定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．