Question

已知过抛物线C：y²=4x的焦点作直线与C分别相交于A、B两点，点M在抛物线的准线上．命题甲：直线BM与x轴平行；命题乙：直线AM过坐标原点．那么，命题甲是命题乙成立的（　　）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

Answer 1

设过焦点F（1，0）的直线方程为x=my+1 代入抛物线方程，消去x，并整理得，y²-4my-4=0，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4，继而两边平方，16=16x₁x₂，∴x₁x₂=1
   若直线BM与x轴平行，则B（-1，y₂），此时k_OA=

y1

x1

=

4

y1

=

4

- 4 y2

=y₂=k_OM，k，o，m三点共线，即直线AM过坐标原点．
  反之，若直线AM过坐标原点，则直线AM的方程为 y=

y1

x1

x，，与抛物线准线方程x=-1联立得B的纵坐标为y=-

y1

x1

=-

4

y1

=y₂，所以直线BM与x轴平行
 综上所述甲是乙成立的充要条件
 故选C