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如图所示，直角坐标系xOy建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD是以O为圆心，OD为半径的圆弧，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， $数学公式$ ），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为 $数学公式$
（Ⅰ）求函数y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园OEPF，其中折线FPE为水上赛艇线路，问点P落在圆弧MD上何处时赛艇线路最长？

解：（I）对于函数y=Asin（ωx+φ），
由图象知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（3分）
将 $\text{[math]}$ 代入到 $\text{[math]}$ 中，得 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ …（7分）
（II）在 $\text{[math]}$ 中令x=4，得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（9分）
连接OP，设∠EOP=θ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
设赛艇线路长为L．
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（12分）
当 $\text{[math]}$ 时L 有最大值 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ．…（14分）
所以当P 点的坐标为 $\text{[math]}$ 时赛艇线路最长．′…（15分）
分析：（I）函数y=f（x）的相邻两条对称轴间距离，求出函数周期，得到ω，函数的图象的一个对称中心，求出φ，然后求出函数y=f（x）的解析式；
（II）在 $\text{[math]}$ 中令x=4，得OD，再连接OP，设赛艇线路长为L．利用三角函数表示出来L，再利用三角函数的性质求得L 有最大值即可解决问题．
点评：题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，注意周期的应用，两角和的余弦公式的应用，同时注意角的范围，以及角的变换的技巧，是解题的关键，考查计算能力．

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在如图所示的直角坐标系中，B为单位圆在第一象限内圆弧上的动点，A（1，0），设∠AOB=x(0＜x＜

)，过B作直线BC∥OA，并交直线y=-

x于点C．
（1）求点C的坐标（用含x的式子表示）；
（2）试求△ABC的面积的最大值，并求出相应x值．

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已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6，侧棱长为

．有一动点M在侧面PAB内，它到顶点P的距离与到底面ABC的距离比为2

：1．

（1）求动点M到顶点P 的距离与它到边AB的距离之比；
（2）在侧面PAB所在平面内建立为如图所示的直角坐标系，求动点M的轨迹方程．

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（1）如图所示建立直角坐标系，求边缘线OM的轨迹方程；
（2）①设点P（t，m）为边缘线OM上的一个动点，试求出点P处切线EF的方程（用t表示）；
②求AF的值，使截去的△DEF的面积最小．

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轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

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