Question

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D是A₁B₁的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE．

(Ⅰ)证明平面ADE⊥平面ACC₁A₁

(Ⅱ)求直线AD和平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1 　　又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1 　　而DE⊥AE．AA1∩AE＝A所以DE⊥平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1． 　　(Ⅱ)解法1：如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质及D是A1B1的中点知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF 　　又C1D∩DF＝D，所以A1B1⊥平面C1DF， 　　而AB∥A1B1，所以 　　AB⊥平面C1DF，又AB平面ABC，故 　　平面ABC1⊥平面C1DF． 　　过点D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1． 　　连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角． 　　由已知AB＝AA1，不妨设AA1＝，则AB＝2，DF＝，DC1＝， 　　C1F＝，AD＝＝，DH＝＝－， 　　所以sin∠HAD＝＝． 　　即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为． 　　解法2：如图所示，设O使AC的中点， 　　以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 　　AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是