Question

12．数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1}\end{array}\right.$，若a₁=$\frac{3}{5}$，则a₂₀₁₆=（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由题意依次求出a₂、a₃、a₄、a₅的值，归纳出数列{a_n}的周期，利用周期性求出a₂₀₁₆．

解答 解：由题意得，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1}\end{array}\right.$，且a₁=$\frac{3}{5}$，
则a₂=2×$\frac{3}{5}-1$=$\frac{1}{5}$，依次求得a₃=$\frac{2}{5}$，a₄=$\frac{4}{5}$，a₅=$\frac{3}{5}$，…，
所以数列{a_n}的周期是4，
则a₂₀₁₆=a_4×504=$\frac{4}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查了数列递推公式，以及数列的周期性的应用，属于基础题．