Question

（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

解: (I) 直线的斜率为1.
函数的定义域为，
因为，所以，所以.
所以. .
由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.  ……………………4分
(II) ，
由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，
所以即可.
则. 由解得.
所以的取值范围是.                   ………………………………8分
(III)依题得，则.
由解得；由解得.
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得.
所以的取值范围是.       ……………………………………13分

解析