Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

（1）求证：

（2）求证：DE∥平面PBC；

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥AB，CD∥　AB，

∴　　　　　　　　　　　　　　　

又∵侧面PAD与底面ABCD垂直且交线为ＡＤ，

∴ＣＤ垂直侧面PAD　　　　　　　　　　　　　

又∵ＰＡ平面ＰＡＤ　　　∴　　　　

(2)如图，取AB的中点F，连接DF，EF．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC

又∵ＢＣ平面ＰＢＣ，ＤＦ平面ＰＢＣ

∴DF∥平面PBC.

在△PAB中，PＥ=EA，AF=FB，　所以EF//PB．

又∵ＰＢ平面ＰＢＣ，ＥＦ平面ＰＢＣ

∴ＥF∥平面PBC.

又因为DFEF=F，

所以平面DEF∥平面PBC.　　　　　　　　　　　　　

因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC．　　　　　

证法二：取ＰＢ的中点Ｍ，边ＣＭ，ＥＭ

在△PAB中，PＥ=EA，ＰＭ=ＭＢ，　所以EＭ//ＡＢ，ＥＭ＝ＡＢ

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以ＣＤ＝ＡＢ，CD∥AB

所以

所以四边形ＣＤＥＭ为平行四边形，所以ＤＥ∥ＣＭ．　　

又因为ＣＭ平面ＰＢＣ，ＤＥ平面ＰＢＣ

所以DE∥平面PBC