Question

设f(x)=

ex

1+ax2

，其中a为正实数
（Ⅰ）当a=

4

3

时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=

4

3

代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．
（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．

解答：解：对f（x）求导得
f′（x）=

1+ax2-2ax

(1+ax2)2

×e^x
（Ⅰ）当a=

4

3

时，若f′（x）=0，则4x²-8x+3=0，解得
x1=

3

2

，x2=

1

2

结合①，可知

所以，x1=

3

2

是极小值点，x1=

1

2

是极大值点．
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，
结合①与条件a＞0知ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
因此△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．

点评：本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解．