Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点，且CC₁=AC，
（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅱ）求证：B₁M⊥平面AMG。

Answer 1

证明：（Ⅰ）设AB₁的中点为P，连结NP、MP，
∵CMAA₁，NPAA₁，
∴CMNP，
∴CNPM是平行四边形，
∴CN∥MP，
∵CN平面AMB₁，MP平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁。
（Ⅱ）∵CC₁⊥平面ABC，
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，
∴AG⊥平面CC₁B₁B，
∴B₁M⊥AG，
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁C，
设：AC=2a，则CC₁=2a，
在Rt△MCA中，AM=，
同理，B₁M=a，
∵BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AB，
∴AB₁=，
∴AM²+B₁M²=，
∴B₁M⊥AM，
又AG∩AM=A，
∴B₁M⊥平面AMG。