Question

已知f(x)=a-

2

3x+1

(a∈R)：
（1）证明f（x）是R上的增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，通过化简变形判定f（x₁）-f（x₂）的符号，最后根据单调性的定义进行求解；
（2）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0求出a的值，然后利用奇函数的定义证明即可．

解答：（1）证明：对任意x∈R都有3^x+1≠0，∴f（x）的定义域是R，
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂
∴3^x₁＜3^x₂且（3^x₁+1）（3^x₂+1）＞0⇒f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数．
（2）解：若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0⇒a=1
下面证明a=1时f(x)=1-

2

3x+1

是奇函数
∵f(-x)=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=1-

2(3x+1)-2

1+3x

=-1+

2

1+3x

=-f(x)
∴f（x）为R上的奇函数
∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数．

点评：本题主要考查了函数的单调性以及函数的奇偶性，同时考查了计算能力，属于基础题．