Question

（2006•东城区一模）已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）若bn=

9

10

(n+2)(an-1)，当n取何值时，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（ I）表示出（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，可化简为an+1=

9

10

an+

1

10

，可证

an+1-1

an-1

为常数；
（Ⅱ）（Ⅱ）由（ II）可知a_n-1=(

9

10

)n-1（n∈N^*），则bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n，作商

bn+1

bn

，通过与1比较大小可{b_n}的单调情况，由此可的最大值；

解答：解：（ I）∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f(an)=(an-1)2，g（a_n）=10（a_n-1），
∴(an+1-an)10(an-1)+(an-1)2=0，即（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知对任何n∈N^*，a_n-1≠0，
所以an+1=

9

10

an+

1

10

．
∵

an+1-1

an-1

=

9 10 an+ 1 10 -1

an-1

=

9

10

，
∴{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，公比为

9

10

的等比数列．
（Ⅱ）由（ II）可知a_n-1=(

9

10

)n-1（n∈N^*）．
∴bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n，

bn+1

bn

=

(n+3)( 9 10 )n+1

(n+2)( 9 10 )n

=

9

10

(1+

1

n+2

)．
当n=7时，

b8

b7

=1，b₈=b₇；
当n＜7时，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；
当n＞7时，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或n=8时，b_n取最大值，最大值为b7=b8=

98

107

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的函数特性，属中档题．