Question

已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）设双曲线的方程为，
由题意知，，∴b²=c²-a²=1，解得b=1，
故双曲线方程为．
（2）将代入，得
由得，且k²＜1，，，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由，
得==，得．
又k²＜1，∴，解得，
所以k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．
分析：（1）设双曲线的方程为，由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由，可得=＞2，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线标准方程的求解，考查向量数量积运算及韦达定理的应用，考查学生的运算能力及对问题转化能力．