Question

在数列{a_n}中，a₁=1，，设b_n=a_2n-2，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1，试比较S_n与T_n的大小．

Answer 1

解：（1）a₂=，a_2n==+2n-1=，∵b_n=a_2n-2，
∴b₁=a₂-2=1.5-2=-0.5，
b_n-1=a_2n-2-2，即a_2n-2=c_n-1+2

=
=，
所以{b_n}是首项为b₁=-0.5，公比为q=的等比数列其通项公式为．
（2）∵，
∴S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=
=
=1-．∵a_2n+1=a_2n-2（2n）=a_2n-4n，a_2n+a_2n+1=2a_2n-4n=2（b_n+2）-4n=2b_n-4（n-1），∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+2b₁+…+[2b_n-4（n-1）]=1+2（b₁+b₂+…+b_n）-4[1+2+…+（n-1）]=1+2×-2n（n-1）=1+-2n（n-1）=．
∴S_n＞T_n．
分析：（1）a₂=，a_2n==，由b_n=a_2n-2，能导出{b_n}的通项公式．
（2）由，知S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|==1-．由a_2n+1=a_2n-2（2n）=a_2n-4n，a_2n+a_2n+1=2a_2n-4n=2（b_n+2）-4n=2b_n-4（n-1），知T_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+2b₁+…+[2b_n-4（n-1）]=1+2（b₁+b₂+…+b_n）-4[1+2+…+（n-1）]=．由此能够导出S_n＞T_n．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．