Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且a_n和S_n满足：，则S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：利用数列递推式，再写一式，两式相减，求出数列的通项，即可得到结论．
解答：解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
作差，得4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴4a_n=（a_n+a_n-1+2）（a_n-a_n-1），
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵{a_n}正数数列，∴a_n-a_n-1=2，
∵4S₁=（a₁+1）²，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1
∴4S_n=（2n-1+1）²，
∴S_n=n²，
故答案为：n²．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于基础题．