Question

某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为P₁，寿命为2年以上的概率为P₂.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（3）当P₁=0.8，P₂=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.

Answer 1

解：（1）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为P₁⁵,需要更换2只灯泡的概率为(1-P₁)²;

（2）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-P₁）²；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为P₁(1-P₂)，故所求的概率为P=(1-P₁)²+P₁(1-P₂);

（3）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为P ⁵（其中P为（2）中所求，下同）换4只的概率为P⁴（1-P），故至少换4只灯泡的概率为P₃=P⁵+P⁴(1-P)

又当P₁=0.8,P₂=0.3时，P=0.2²+0.8×0.7=0.6，

∴P₃=0.6⁵+5×0.6⁴×0.4=0.34.

即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.