Question

设非零平面向量

m

，

n

，θ=（

m

，

n

），规定

m

?

n

=|

m

|×|

n

|sinθ．F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点M，N分别是其上的顶点，右顶点，且

OM

?

ON

=6

2

，离心率e=

1

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线交椭圆C于点A，B，求：

OA

?

OB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：新定义,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a•b=6

2

，

c

a

=

1

3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）当直线为x轴时，

OA

?

OB

=0；当直线不为x轴时，设直线AB的方程为：x=my+1，由

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

得（8m²+9）y²+16my-64=0，

OA

?

OB

=|

OA

|•|

OB

|•sinθ=2S_△OAB=|y₁-y₂|，由此能求出

OA

?

OB

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知M（0，b），N（a，0），＜

OM

，

ON

＞=90°，c²=a²-b²，
∵

OM

?

ON

=6

2

，
∴a•b•sin90°=a•b=6

2

，
∵离心率e=

1

3

，∴

c

a

=

1

3

，
解得a=3，b=2

2

，c=1，
∴椭圆的标准方程为：

x2

9

+

y2

8

=1．
（Ⅱ）当直线为x轴时，
∵A（-3，0），B（3，0），＜

OA

，

OB

＞=180°，
∴

OA

?

OB

=0，
当直线不为x轴时，
∵F2(1，0) ，∴设直线AB的方程为：x=my+1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

消去x得：（8m²+9）y²+16my-64=0，
∴y1+y2=

-16m

8m2+9

，y1y2=

-64

8m2+9

，
∴

OA

?

OB

=|

OA

|•|

OB

|•sinθ
=2S_△OAB=|y₁-y₂|
=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -16m 8m2+9 )2-4• -64 8m2+9

=48

m2+1 (8m2+9)2

，
令t=m²+1，t≥1，得

OA

?

OB

=48

t (8t+1)2

=48

1 64t+ 1 t +16

，
令f（t）=64t+

1

t

+16，t≥1，
则f′(t)=64-

1

t2

＞0，
∴f（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥f（1）=81，
∴0＜≤

16

3

．
综上所述，

OA

?

OB

的取值范围是[0，

16

3

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查

OA

?

OB

的取值范围的求法，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，注意导数的合理运用．