Question

巳知无穷数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，从集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a₁，a₂，a₃，…a_n一起恰好是1至S_n全体正整数组成的集合．
 （1）求a₁，a₂，的值；
 （2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）写出等差数列{a_n}的前n项和，结合对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立列式求取首项和公差，从而得到两个无穷等差数列的通项公式；
（Ⅱ）（1）由题意利用用集合相等求得a₁，a₂的值；
（2）有题意可知，集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}按上述规则共产生S_n个正整数，而集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n，a_n+1}按上述规则共产生S_n+1个正整数中，
除1，2，…，S_n这S_n个正整数外，还有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…，S_n）共2S_n+1个数．∴S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1．结合Sn+1+

1

2

=3(Sn+

1

2

)求得S_n，然后由S_n-S_n-1求通项．

解答：解：（Ⅰ）设无穷等差数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]．
∴Sn3=n3[

d

2

n3+(a1-

d

2

)]
且(Sn)3=n3[

d

2

n+(a1-

d

2

)]=n3[

d3

8

n3+3×

d2

4

(a1-

d

2

)n2+3×

d

2

(a1-

d2

2

)n+(a1-

d

2

)3]．
∵对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立，
∴

d3 8 = d 2               ① 3d2 4 (a1- d 2 )=0  ② 3d 2 (a1- d 2 )2=0  ③ (a1- d 2 )3=a1- d 2 ④

∵数列{a_n}的各项均为正数，∴d≥0．
由①可知d=0或d=2，当d=0时，由④得a₁=1，且同时满足②③．
当d=2时，由②得a1=

d

2

=1，且同时满足③④．
因此，共有两个无穷等差数列满足条件，通项公式为a_n=1或a_n=2n-1；
（Ⅱ）（1）记A_n={1，2，…，S_n}，显然a₁=S₁=1．
对于S₂=a₁+a₂=1+a₂，有A₂={1，2，…，S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，
故1+a₂=4，∴a₂=3．
（2）有题意可知，集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}按上述规则共产生S_n个正整数，而集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n，a_n+1}按上述规则共产生S_n+1个正整数中，
除1，2，…，S_n这S_n个正整数外，还有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…，S_n）共2S_n+1个数．
∴S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1．
又Sn+1+

1

2

=3(Sn+

1

2

)．
∴Sn=(S1+

1

2

)•3n-1-

1

2

=

1

2

•3n-

1

2

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1．
而a₁=1满足an=3n-1．
故数列{a_n}的通项公式为an=3n-1．

点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了由数列的和求其通项公式，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，该题综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，在数列试题中属于难度较大的题目．