Question

（06年湖南卷文）（14分）

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

　（Ⅱ）若且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

Answer 1

解析：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为

    x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.

    因为点A在抛物线上，所以，即.

    此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

   （Ⅱ）解法一　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.

由消去y得.           ……①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁＋x₂＝.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，

所以，且

.

从而.

所以，即.

解得.

因为C₂的焦点在直线上，所以.

即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

解法二　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程

为.

由消去y得.          　　　　　　　 ……①

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入①有.

即.                                     ……②

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程②的两根，x₁＋x₂＝.

由消去y得.           　　……③

 

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂＝.

从而＝. 解得.

因为C₂的焦点在直线上，所以.

即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

 解法三　设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

因为AB既过C₁的右焦点，又是过C₂的焦点，

所以.

即.                                         ……①

由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……②

且直线AB的方程是,

所以.                                ……③

又因为，所以.         ……④

将①、②、③代入④得，即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.