Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N*）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知P₁（-1，0）（1分）
∴a₁=-1，b₁=0（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k为奇数，
则f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解（6分）
若k为偶数，
则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）证明：
（1）当成立．（11分）
（2）当n≥3，n∈N^*时，
λx₁²-2λx₁+λ-1=0．（12分）
=成立．（13分）
综上，当成立．（14分）
分析：（Ⅰ）由题意知P₁（-1，0），a₁=-1，b₁=0，由此可知a_n=n-2，b_n=2n-2．
（Ⅱ）若k为奇数，则f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解．若k为偶数，则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3，由此可知存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．
（Ⅲ），由此入手能够证明，当成立．
点评：本题考查数列的性质及其综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．